История открытия флексагонов.

 

Флексагоны – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу.

Топология – это раздел математики, изучающий свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях.

История появления флексагонов берет начало с 1939 года. Как-то раз Артур Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный (английский) формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из фигур оказалась особенной: у неё было 3 стороны. Так был открыт первый флексагон, что в переводе с английского означает «способный складываться». Стоун показал свои бумажные модели друзьям по университету. Так появилась новая наука «флексология», и для проникновения в её тайны был организован «флексагонный комитет». К 1940 году была разработана математическая теория флексагонов, но из-за войны её не успели опубликовать. Таким образом, флексология – это совершенно новый раздел математики, в развитие которого может внести вклад каждый из нас.

     

Виды флексагонов.

 

Я думаю, что флексагоны можно разделить на виды по количеству поверхностей и по форме. Постоянные модели были названы гексафлексагонами из-за их шестиугольной формы (от греческого «гекс», что означает «шесть»). Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагоном, так как у него были три поверхности. Вторая, не менее изящная, модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» – шесть – также означает число поверхностей этой модели).

 

Таблица – Классификация флексагонов по форме и количеству поверхностей

 

Название

Форма

Количество поверхностей

унагексафлексагон

шестиугольная

1

дуогексафлексагон

шестиугольная

2

тригексафлексагон

шестиугольная

3

тритететрафлексогон

четырёхугольная

3

тетратетрафлексагон

четырёхугольная

4

пентагексафлексагон

шестиугольная

5

гексагексафлексагон

шестиугольная

6

 

Теоретически можно получить флексагон с любым количеством поверхностей. Попробуем сделать их практически.

             

Изготовление флексагонов.

1. Изготавливаем тритетрафлексагон:

Простейший тетрафлексагон легко сложить из полоски бумаги, составленной из 6 квадратов. Пронумеруйте квадраты, как показано на Рисунке 1 (пункт 1). С обратной стороны полоски проставьте нумерацию (пункт 2). Теперь согните полоску к себе вдоль пунктирной линии, разделяющей две тройки, и отогните левый нижний квадратик с двойкой назад (пункт 3). Переверните полученную фигуру обратной стороной и склейте ее правые квадратики — верхний и нижний (пункт 4).

 

Рисунок 1. Изготовление  тетрафлексагона.

 

2.Изготавливаем тригексафлексагон:

1. Вырежем из бумаги ленту длиной 11 см и шириной 1,7 см, расчертим и раскрасим её с двух сторон согласно Рисунку 2;

2. Перегнём ленту в обе стороны по всем линиям;

3. Теперь сгибаем ленту так, чтобы совместились все красные секторы;

4. Наносим клей на белые треугольники и склеиваем их.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2. Изготовление тригексафлексагона.

 

3. Изготавливаем тетратетрафлексагон:

Разграфите лист бумаги на 12 квадратов и пронумеруйте их с двух сторон, как показано на Рисунке 3 (а, б). Сплошной линией показаны линии разрезов. Вырезанный «язычок» из двух центральных квадратов 2 и 1 отогните назад (Рис. 3в). Назад отогните и правый столбец с цифрами 3, 1, 3. Теперь новый правый столбец с тремя двойками тоже подогните назад, а левый висящий квадрат с тройкой загните к себе. В результате сверху должны оказаться все квадраты с цифрой 1. Склейте полоской бумаги два средних квадрата (Рис. 3г).

Перегибая этот тетрафлексагон вдоль вертикальной линии, вы обнаружите четыре разные его поверхности. Сложнее всего найти поверхность, пронумерованную четверками.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3. Изготовление тетратетрафлексагона.

Ещё я смастерил 12-сторонний  и  15-сторонний флексагоны.

Мои советы по изготовлению флексагонов:

• укреплять места сгибов

• оставлять зазор между лентами

• главный совет: семь раз отмерь и один раз отрежь.

 

Применение флексагонов.

Флексагоны возможно применить в рекламных целях, однако они не практичны при большом количестве сторон и сложны в эксплуатации.

Пример: вот уже несколько столетий по этой схеме делают шарнирные соединения «двойного действия». На моем письменном столе, например, стоят две рамочки для фотографий, которые соединены так, что образуют тритетрафлексагон, с одинаковой легкостью открывающийся в обе стороны.

Ту же конструкцию можно обнаружить и во многих детских игрушках. Наиболее известны цепочки из деревянных брусков или пластмассовых кубиков, скрепленных между собой крест-накрест проволочками или тесемками. Стоит лишь определенным образом передвинуть отдельные звенья цепочки, как создается полное впечатление, что верхний кубик перемещается в самый низ цепи. На самом деле это не более чем обман зрения, вызванный последовательным изгибанием шарнирных соединений, выполненных по схеме тритетрафлексагона. В 90-е годы прошлого столетия в США широкой популярностью пользовалась основанная на этом же принципе игрушка под названием «Лестница Якова» (рисунок и описание этой игрушки можно найти в книге Альберта А. Гопкинса). В наше время в магазинах игрушек можно встретить ее современные варианты — «Кубики клик-клак» и «Кубики флип-флоп». Также флексагоны применяются в фокусах.

 

Репортаж об экскурсии

Мы с ребятами пригласили на экскурсию одноклассников, рассказали им о флексагонах, графах, ленте Мёбиуса, паркетах, учили делать флексагоны (см. Приложение 1, 2). Затем провели опрос, какой из экспонатов больше понравился.

 

Результаты опроса

В опросе участвовали 20 человек.

Выбрали:                                                   

Ленту Мёбиуса               6 чел.

Флексагоны                     8 чел.

Графы                               2 чел.

Паркеты                           4 чел.

 

Рисунок 4. Диаграмма по результатам опроса учеников.

 

Вывод

 

По результатам опроса учеников, посетивших экскурсию в «Музее математических чудес», можно сделать следующий вывод: Флексагон – наиболее интересный экспонат «Музея математических чудес»!